2016 ein fast perfektes
Jahr?
Ja, wenn die Mersenne-Zahl
M6 = (26-1) = 63 eine Mersenne-Primzahl wäre, dann wäre
die Zahl
2016
im mathematischen Sinne vollkommen,
also perfekt!
Als vollkommen gilt eine Zahl, wenn die Zahl genau so groß
ist wie die Summe ihrer positiven Teiler. Wenn wir also so tun als sei
63 eine Primzahl, dann hätte 2016 die
Teiler :
1; 2;
4; 8; 16; 32; 63; 126;
252; 504; 1008
Bilden wir die Summe dieser Teiler, dann ergibt es
2016.
Besonders deutlich ist der Zusammenhang zwischen den
Mersenne-Zahlen und den vollkommenen Zahlen, wenn die Binärdarstellung der
Zahlen gewählt wird:
Binär Dezimal
11111100000 2016
-----------
----
1111110000
1008
111111000 504
11111100 252
Addition von
1111110 126
Teilern
111111
63
100000 32
10000 16
11 1000 8
1111 100
4
111111 10 2
11111111 1
1
Überträge
1111111111 124
------------------------
----
Summe
11111100000
2016
Alle bisher bekannten vollkommenen Zahlen lassen
sich von den Mersenne-Zahlen ableiten, denn es gilt:
Wenn Mn eine Mersenne-Primzahl ist, dann
ist 2(n-1)(2n-1) eine
vollkommene Zahl.
Die nächste vollkommene Zahl läßt sich aus
M7 herleiten und lautet 8128.
Interessant ist auch, dass 2016 in
der Binärdarstellung eine freiwillige Palindromzahl
ist, denn jeder Zahl dürfen beliebig viele Nullen vorangestellt werden. Der Wert
der Zahl ändert sich nicht.
Daher gilt:
11111100000 =
0000011111100000
Ja, wenn das Wörtchen "WENN"
nicht wär ...,
denn in Wahrheit ist 2016 ein
"Teilerprotz"
-
Für weitere Informationen siehe Wikipedia
Vollkommene Zahl
Mersenne-Primzahl
Palindromzahl
Karl Hovekamp, 31. Dez. 2015